Einführung
Zahlensysteme kennen viele aus den ersten Stunden des Mathematikunterrichts einer weiterführenden Schule oder vielleicht aus dem Informatikunterricht. Es gibt auch viele die davon noch nichts gehört haben, was überhaupt nicht schlimm ist.
Für die konventionelle Darstellung und Berechnung von Zahlen werden ganz allgemein arabische Ziffern (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) verwendet.
Das Grundgerüst für den Aufbau von Zahlen ist das Zahlensystem, welches sich arabischer Ziffern bedient, um Mengen entsprechend abzubilden. Durch die Verwendung eines solchen Systems wird, wie bereits angesprochen, eine gemeinsame Grundlage für Berechnungen und Darstellungen von Zahlen geschaffen, um Fehlinterpretationen dieser vermieden. Die verbreitetesten Zahlensysteme zählen zu dem Systemtyp Stellenwert- bzw. Positionssystem. Darunter versteht sich, die Abbildung von Zahlen mit der Angabe von Stellen(wertigkeiten) und deren Anzahl. Die Anzahl wird dabei durch die Ziffer ausgedrückt. Konkret wird das im Beispiel nach der Theorie erläutert.
Das Dezimalsystem ist das gängiste und meist verwendetste Zahlensystem. Der Wortteil “dezi” stammt aus der lateinischen Sprache “decem” und bedeutet 10. Damit wissen wir jetzt, dass das Dezimalsystem irgendetwas mit der Zahl 10 zu tun hat. Und das ist auch richtig! Es basiert auf der Zahl 10! Aber was bedeutet das jetzt nur?
Theorie
Um zu verstehen wie ein Zahlensystem grundlegend funktioniert, benötigen wir ein wenig mathematische Theorie, aber alles nicht so kompliziert. Im Prinzip steckt hier nur eine Summe von Produkten dahinter. Konkreter wird es mit folgendem Ausdruck, der für eine natürliche Zahl z Gültigkeit hat:
\textcolor{red}{z} = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \textcolor{blue} {a}_{n} \textcolor{green}{B}_{n} = \textcolor{blue} {a}_{n} \textcolor{green}{B}^{n} + \textcolor{blue} {a}_{n-1} \textcolor{green}{B}^{n-1} + \textcolor{blue} {a}_{0} \textcolor{green}{B}^{0}
n = Zählvariable/Laufindex
N = Anzahl der Stellen der Zahl
\textcolor{blue} {a} = Ziffer
\textcolor{green} {B} = Basis des Zahlensystems
Beispiel
Nun wollen wir diese Theorie und damit auch den eingangs geschilderten Sachverhalt konkretisieren. Hierfür wählen wir willkürlich die Zahl, genauer gesagt Dezimalzahl, 158 aus. Jene wird nun durch den theoretischen Zusammenhang des Stellenwert- bzw. Positionssystems abgebildet:
\textcolor{red}{158} = \textcolor{blue} {1}_{2} \times \textcolor{green}{10}^{2} + \textcolor{blue} {5}_{1} \times \textcolor{green}{10}^{1} + \textcolor{blue} {8}_{0} \times \textcolor{green}{10}^{0}Die Hunderterstelle \textcolor{green}{10}^{2} ist 1 mal, die Zehnerstelle \textcolor{green}{10}^{1} ist 5 mal und die Einerstelle \textcolor{green}{10}^{0} 8 mal vorhanden. Hier ist auch sichtbar, dass beim Dezimalsystem die Basis der einzelnen Stellen 10 ist.
Zusammenfassung
- Zahlensystem ist Basis der Zahlendarstellung (=Grundgerüst des Zahlenaufbaus)
- heutige Zahlensysteme sind Stellenwert- bzw. Positionssysteme
- gängigstes Zahlensystem ist das Dezimalsystem